F
lorenci Pla – Director del Centre d’Estudis Empresarials i Tecnològics de la Universitat d’Andorra.
El percentatge és un concepte matemàtic molt utilitzat a la vida quotidiana: descomptes, recàrrecs, amortitzacions, depreciacions, increments de preus, … Segurament és l’aspecte matemàtic (llevat de les operacions bàsiques) que més s’utilitza fora de l’escola. Ara bé, se li dóna la mateixa importància quan s’ensenya a l’escola?.
Personalment he pogut constatar la poca habilitat que tenen moltes persones per manipular, no percentatges complicats (18%, 73%), sinó inclús alguns de tant senzills com 20% , 30% o 50%, que haurien de ser automàtics per a qualsevol individu que hagi passat (amb un mínim d’aprofitament matemàtic) per l’ensenyança bàsica.
Una explicació podria ser el poc temps que es dedica als percentatges, respecte a les fraccions. No serà que hi ha una relació inversa entre el temps que es dedica a l’escola a cadascuna de les formes de representar quantitats no enteres i el nivell d’utilització a la vida diària?
Ara bé, quina és la solució per dominar els percentatges? Dedicar-hi més temps al seu ensenyament a l’escola o bé ensenyar-ho d’una altra manera?. Personalment crec que és més una qüestió de mètode que de temps.
Als mitjans de comunicació el percentatge és un dels conceptes matemàtics més utilitzat, i no només a les pàgines d’economia: variació (quasi sempre augmentant) del preu de la benzina, variació del cost de la vida (quasi sempre a l’alça), variació del salari (darrerament sempre a la baixa), augment o disminució de la borsa, rendibilitat bancària (cada vegada més baixa), taxa d’èxit dels estudiants en els exàmens, descomptes, pendent d’una carretera, etc. Com podem veure el percentatge és de domini públic.
Ara bé, les operacions amb percentatges no sempre s’utilitzen de forma correcta, fins hi tot podríem dir que hi ha un gran desconeixement d’aquest concepte matemàtic tan popular, no només al carrer sinó també en alguns mitjans de comunicació (potser caldria posar una assignatura de matemàtiques aplicades a la carrera de periodisme?).
Com es calcula un %
Calcular el % d’una determina quantitat no presenta massa problemes. Per exemple, per calcular el 12% de 450 només cal fer \(\frac{12}{100}\cdot 450 = 0,12\cdot450 = 54\) , tant senzill com multiplicar la quantitat pel percentatge i dividir per 100. Si aquest 12% és un recàrrec o impost caldrà sumar-lo al valor inicial i si es tracta d’un descompte caldrà restar-lo. Fins aquí imagino que cap problema.
I si volem calcular el % d’augment o disminució de preus?
Vegem-ho amb un exemple, sempre és més il·lustratiu. Agafem les dades següents (diari Ara 04/02/2016)
Ens podríem preguntar, quina ha estat l’evolució de preus del 6D (2016) a l’1F (2017)?
Calculem-ho!
| Producte | Preu 6D | Preu 1F | Variació (absolut) | Variació (%) |
| Mongeta | 2,7 | 3 | 0,3 | \(\frac{3-2,7}{2,7}\cdot100=11,1\)% |
| Albergínia | 2.1 | 3,15 | 1,05 | \(\frac{3,15-2,1}{2,1}\cdot100=50\)% |
| Carxofa | 1,7 | 2,6 | 0,9 | \(\frac{2,6-1,7}{1,7}\cdot100=53\)% |
| Carbassó | 1,6 | 3,95 | 2,25 | \(\frac{3,95-1,6}{1,6}\cdot100=140\)% |
| Enciam | 0,43 | 0,6 | 0,17 | \(\frac{0,6-0,43}{0,43}\cdot100=39,5\)% |
Observant aquesta taula ens adonem que la variació absoluta no té massa a veure amb la variació relativa (%). Podem observar que l’albergínia s’ha apujat més d’un euro el quilo (1.05€), que la carxofa s’ha apujar menys d’un euro el quilo (0,9€), en canvi l’albergínia s’ha apujat un 50% i la carxofa un 53%. Aquests increments tot i ser molt importants en percentatge no representen grans variacions de les despeses, si una família consumeix 2 kg d’albergínies a la setmana l’increment de preus del 50% representa un increment de la despesa de 2,2 €. En canvi un increment del 20% en el preu del filet (uns 30 €/kg) representa un increment de despesa de 6€/kg.
Vist els càlculs anteriors podríem deduir la fórmula general per calcular el % de variació
| Producte | Preu 6D | Preu 1F | Variació (absolut) | Variació (%) |
| El que sigui | P1 | P2 | P2-P1 | \(\frac{P2-P1}{P1}\cdot100\) |
Ara que estem aquí, anem a analitzar situacions límit. Per exemple, podem aplicar percentatges superiors al 100%?
Com podem veure a la taula anterior la resposta és SÍ. El carbassó ha pujat un 140% en menys de dos mesos.
Una altra situació límit la trobem quan partim d’una valor inicial nul (P1=0) que a l’aplicar la fòrmula \(\frac{P2-P1}{P1}\cdot100\) obtindríem un increment infinit.
A la vista del gràfic també ens podríem preguntar, quin % ha de baixar el preu del carbassó per tornar al preu del febrer 2016?
Algú podria pensar si en un any ha pujat un 464% doncs quan baixi un 464% tindrem el preu inicial. Doncs NO.
Fem els càlculs. El primer que hem de saber és quan costava 1 kg de carbassó al febrer 2016 (diguem-li “x”) i tindrem que \(x+\frac{464}{100}\cdot x =3,95 \to 5,64x = 3,95 \to x=\frac{3,95}{5,64}= 0,7\)€/kg. És a dir, el carbassó ha passat de 0,7€/kg a 3,95€/kg en un any. I ara ens podríem preguntar, quin % ha de baixar per tornar al preu d’ara fa un any? També un 364%? NO
Fem càlculs. Si considerem “d” el % que ha de baixar tindrem que: \(3,95-\frac{d}{100}\cdot3,95=0,7 \to 3,95 – 0,0395d =0,7 \to d=\frac{3,95-0,7}{0,0395}=82,23\). D’aquí es desprèn que tot i haver pujat un 464% només haurà de baixar un 82,23% per tornar al preu original.
I encara ens podríem preguntar, si hi ha augments superiors al 100%, pot haver-hi disminucions superiors al 100%? Doncs NO, si més no quan treballem amb valors positius. I que passaria si el preu d’un objecte baixa un 100%? Doncs que el preu seria 0€. I si baixa més d’un 100%? Doncs que tindríem preus negatius i això no té sentit.
Errors més habituals
Sumar o restar directament %
Un dels errors més comuns que es fa, és atorgar als percentatges un valor numèric fix i després sumar o restar-los directament. En algun mitjà de comunicació he vist “l’IVA de la benzina, a Espanya, a partir de l’1 de setembre s’incrementà un 3%, passarà del 18% al 21%”. Si ho calculem ens adonarem que s’ha incrementat ni més ni menys que un 16,67%: \(\frac{21-18}{18}\cdot100=16,67\)%, molt per sobre del que indicava el periòdic.
La forma correcta de la notícia hagués estat “l’IVA de la benzina, a Espanya, a partir de l’1 de setembre s’incrementà 3 punts, passarà del 18% al 21%”.
Acumular directament %
Sovint trobem qui conclou que, si un mes la benzina puja el 5 % i al mes següent un altre 5%, l’augment de la benzina dels dos mesos ha estat del 10%, quan en realitat l’augment ha estat del 10,25%.
Un altre error el trobem quan algú conclou que si un mes la borsa (IBEX) puja el 20% i al més següent baixa un 20% queda invariant. Si fem els càlculs correctament ens adonarem que si que ha variat ja que en realitat ha baixat un 4%.
Els percentatges tenen un comportament diferent al fet pujar i baixar escales (si pugem 20 escales i desprès en baixem 20 tornarem al punt de partida).
I ens podem preguntar, a què es deuen aquests errors? Això passa per no considerar que el percentatge és una relació de proporcionalitat respecte a valors diferents. El mateix % a l’aplicar-lo a quantitats diferents dóna valors diferents.
Vegem un exemple. Si l’IBEX puja un 20% al gener i un 20% al febrer, quina ha estat la pujada dels dos primers mesos de l’any?
| Valor a principi d’any (1G) | Valor a 31G | Valor a 28F |
| x | \(x+\frac{20}{100}\cdot x=1,2x\) | \(1,2x+\frac{20}{100}\cdot1,2x=1,44x\) |
Hem passat d’un valor “x” a un valor 1,44x i això representa un increment del 44%. Només cal aplicar \(\frac{P2-P1}{P1}\cdot100\), és a dir \(\frac{1,44x-x}{x}\cdot100 = \frac{0,44x}{x}\cdot100 =44\).
I un es podria preguntar, hi ha alguna manera més senzilla d’encadenar %?. Doncs SÍ. Ho veurem al final del article.
Importa l’ordre en que apliquem %?
Imaginem la següent situació: “anem a comprar un cotxe que costa 20.000€ al que cal aplicar un IGI del 20%” i ens donen a triar entre dues opcions:
- Primer aplicar el descompte del 10% i desprès l’IGI
- Primer aplicar l’IGI i desprès el descompte
Quina és la millor opció? Doncs caldrà fer càlculs per a cada opció
Opció (a). Si apliquem un descompte del 10% el preu del cotxe passa de 20.000€ a 18.000€ i si ara li apliquem el 20% d’IGI el preu passa a ser de 21.600€.
Opció (b)? Si apliquem un IGI del 20% el preu del cotxe passa de 20.000€ a 24.000€ i si ara li apliquem el descompte del 10% el preu passa a ser de 21.600€.
Com podem veure en les dues opcions pagarem el mateix ja que quan s’encadenen percentatges l’ordre en que els apliquem no importa.
Fórmula magistral
Pels que heu tingut la valentia d’arribar fins aquí (entenc que no és fàcil quan pel camí us heu trobat amb tantes fórmules) us faig a mans una manera molt senzilla de calcular (fins i tot mentalment) el % resultant de l’encadenament de dos %.
Us proposo analitzar aquests resultats de la taula següent i a veure si sou capaços de trobar la lògica del càlcul de la columna de la dreta. Això és el que vaig fer jo (amb l’ajut d’un full de càlcul) per trobar la fórmula magistral. I la veritat és que la satisfacció va ser gran.
| Primer % | Segon % | % Global |
| 20 | 20 | 44 |
| 30 | 80 | 134 |
| 80 | 30 | 134 |
| 50 | -30 | 5 |
| 10 | -40 | -34 |
| -70 | 10 | -67 |
| -10 | -20 | -28 |
| A | B | ? |
Què tal? Heu trobat la lògica de càlcul del % global? És a dir, heu pogut completar la darrera fila.
Potser heu deduït que \(? = A+B+\frac{A}{10}\cdot\frac{B}{10}\). És a dir, que el % acumulat és la suma (amb els signes corresponents) més (+) el producte de les desenes (\(\frac{A}{10}\cdot\frac{B}{10}\) també amb els signes corresponents). Comproveu-ho i veureu que funciona SEMPRE.
I també ens podríem preguntar, era esperat aquest resultat? Anem a fer càlculs. Imaginem que apliquem un A% a un valor “k” i després apliquem un B% al resultat obtingut.
Desprès d’aplicar un A% a k tindrem \(k+\frac{A}{100}\cdot k\), si ara li apliquem un B% tindrem: \(k+\frac{A}{100} k +\frac{B}{100}(k+\frac{A}{100} k)=k+\frac{A}{100} k+\frac{B}{100} k+\frac{A xB}{10.000}=k(1+\frac{A}{100}+\frac{B}{100}+\frac{AxB}{10.000})\).
Si calculem el percentatge de variació entre el valor inicial “k” i el final \(k(1+\frac{A}{100}+\frac{B}{100}+\frac{AxB}{10.000}\), aplicant \(\frac{P2-P1}{P1}\cdot100\) tindrem:
\(\frac{k(1+\frac{A}{100}+\frac{B}{100}+\frac{AxB}{10.000}-k)}{k}\cdot100 =\frac{k(1+\frac{A}{100}+\frac{B}{100}+\frac{AxB}{10.000}-1)}{k}\cdot100 = \) \(= (\frac{A}{100}+\frac{B}{100}+\frac{AxB}{10.000})=A+B+\frac{AxB}{100}=A+B+\frac{A}{10}\cdot\frac{B}{10}\)
que com podeu comprovar coincideix amb resultat obtingut per inducció.
Com hem pogut veure els percentatges tot i ser un dels conceptes matemàtics més populars en vida quotidiana, sovint s’utilitzen de forma incorrecta, espero que aquest article sigui un ajut per entendre millor el concepte de percentatge i també un ajut (didàctic) per explicar-los millor a l’escola.